ウィーンの変位則

提供: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

ヴィーンの変位則（―のへんいそく、Wien's displacement law）とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則とよばれることも多い。

<math>\lambda_\mathrm{max} = \frac{0.002898}{T} </math>

ここで<math>T</math>は黒体の温度(K)、<math>\lambda_\mbox{max}</math> はピーク波長(m)、0.002898 が比例定数である。CGS単位系では 0.29 cm·K である。

例

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる。(色温度)

導出

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。.

黒体輻射のプランクの式は

<math>u(\lambda) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\,\frac{1}{ e^{h c/\lambda kT}-1}</math>

波長<math>\lambda</math>の最大値を求めるために、波長分布 <math>u(\lambda)</math>を<math>\lambda</math>で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

<math>\partial_{\lambda}u(\lambda) = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0</math>

<math>\frac{hc}{\lambda kT }\,\frac{1}{ 1-e^{-h c/\lambda kT} }-5=0</math>

ここで<math>x\equiv{hc\over\lambda kT }</math>とすると、

この方程式は解析的には解けないが、ランベルトのW関数を用いて、

と表現することができる。これを数値計算すると、x は

<math>x\approx4.965114231744276</math>

となる。x から<math>\lambda</math>を求めると、

<math>\lambda = \frac{hc}{ kx }{1\over T} = {0.00289776829\over T}</math>

となる。

なお、振動数で表示されたプランクの公式

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、<math>x \equiv{h\nu/kT}</math>は

を満たすものであり、やはり解析的には解けないが、数値計算により

<math>x \approx 2.8214</math>

したがってピークにおける振動数は

<math>\nu_{\mathrm{max}} = \frac{kx}{h}T = 5.8789 \times 10^{10} T</math>

となる。<math>\lambda_{\mathrm{max}} \cdot \nu_{\mathrm{max}} = c</math>ではないことに注意が必要である。

ウィーンの変位則

提供: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

例

導出

関連項目